师：同学们，大家好。今天我们学习人教版初中数学八年级上册第15章第6课分式的乘除。这节课的学习目标，一是运用分式的乘除法解决一些简单的实际问题；二是熟练地进行分式乘除法的混合运算。同学们准备好了吗？让我们一起快乐地学习。
在上新课之前，我们先来复习上节课的知识。请看基础知识回顾：分式的乘除法则。分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。用式子表示为：$\frac{a}{b}×\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$，其中$b≠0$，$d≠0$。分式除以分式，把除式中的分子分母颠倒位置后与被除数相除，用式子表示为：$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}×\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$，其中$b≠0$，$d≠0$，$c≠0$。
下面让我们一起来学习新课。你能用分式的乘除法解决生活中的实际问题吗？请看典型例题一，这是课本第163页例3。如图，丰收1号小麦的实验田是边长为$a$米（$a＞1$）的正方形，去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后，余下的部分。丰收2号小麦的实验田是边长为$(a - 1)$米的正方形。两块实验田的小麦都收获了500千克。请问：哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
我们先来解决第一问。你能说出小麦的单位面积产量的含义吗？单位面积产量等于总产量除以种植总面积。两块实验田的面积分别是多少？由题意可知，丰收1号小麦的实验田面积是$(a^2 - 1)$平方米，丰收2号小麦的实验田面积是$(a - 1)^2$平方米。要求两种小麦的单位面积产量，用总产量500去除以种植面积就可以了。
因此我们可以这样解，请看大屏幕：
解：丰收1号小麦的实验田面积是$(a^2 - 1)$平方米，单位面积产量是$\frac{500}{a^2 - 1}$千克每平方米。丰收2号小麦的实验田面积是$(a - 1)^2$平方米，单位面积产量是$\frac{500}{(a - 1)^2}$千克每平方米。
要比较两种小麦单位面积产量的高低，就是比较分式$\frac{500}{a^2 - 1}$与$\frac{500}{(a - 1)^2}$的大小。怎样比较这两个分式的大小呢？请大家观察一下这两个分式有什么共同点？
生：这两个分式的分子是相同的正数。
师：对的。根据比较分数大小的方法可知，分子是相同正数时，分母大的分式反而小，所以我们只需要比较分母的大小就可以了。由问题的实际意义可知，$a＞1$，所以$a^2 - 1＞0$，$(a - 1)^2$也大于0。那到底是$a^2 - 1$大，还是$(a - 1)^2$大呢？请尝试用多种方法来比较这两个整式的大小。同学们都想到了吗？老师想跟大家分享一种直观的方法，我们可以通过图形的面积来比较，请看图，这是一个边长为$a$米的正方形，它的面积是$a^2$。减去一个面积为1的正方形后，余下的空白部分的面积等于$a^2 - 1$。把边长为$a$的正方形各边长减一后，得到右上角这一个正方形，它的边长是$(a - 1)$，则它的面积是$(a - 1)^2$。很明显，它比$a^2 - 1$的部分少了两块小长方形。
由图可得，$(a - 1)^2＜a^2 - 1$。同学们，你还有其他的方法吗？
生：我取了$a = 2$，代入计算很快就做出来了。
师：这确实是一种快捷的方法，通常我们把它叫做特殊值代入法，我们常利用它可快速得到问题的答案。不过它有一定的局限性，不能用作严格的推理证明，而且取值必须在正确的范围内。
你们能用更一般的方法证明吗？我们还可以类比比较两数大小的方法，用两式相减的差与0的大小来比较。请看，因为$a＞1$，所以$(a - 1)^2 - (a^2 - 1)$，用完全平方式把它展开，得$a^2 - 2a + 1 - (a^2 - 1)$，去括号合并同类项得$-2a + 2$。
怎样比较$-2a + 2$与0的大小呢？提出一个$-2$得$-2(a - 1)$，因为$a＞1$，所以$a - 1＞0$，所以$-2(a - 1)＜0$。当两式之差小于0时，被减数小于减数，即$(a - 1)^2＜a^2 - 1$。再根据分子是相同正数时，分母大的分式反而小，得到$\frac{500}{a^2 - 1}＜\frac{500}{(a - 1)^2}$，所以丰收2号小麦的单位面积产量高。
下面我们来看第二问，高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？同学们，你能列式表示上面的问题吗？
生：要求出高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍，我们可以用高的单位面积产量除以低的单位面积产量，即$\frac{500}{(a - 1)^2}÷\frac{500}{a^2 - 1}$。
师：非常好。$\frac{500}{(a - 1)^2}÷\frac{500}{a^2 - 1}=\frac{500}{(a - 1)^2}×\frac{a^2 - 1}{500}=\frac{a^2 - 1}{(a - 1)^2}=\frac{(a + 1)(a - 1)}{(a - 1)^2}=\frac{a + 1}{a - 1}$。