师：同学们，大家好。今天我们来学习八年级人教版数学第十五章第十课时整数指数幂。我们一起来看一下学习目标：一、了解负整数指数幂的意义；二、掌握整数指数幂的性质，并能运用它进行计算；三、会利用10的负整数次幂，用科学计数法表示一些小于1的正数。
在开始学习新课之前，我们先来复习一下正整数指数幂。当n是正整数时，n个a连乘表示a的n次方，这就是正整数指数幂。它的运算性质有以下5条：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
积的乘方，各个因式分别乘方。
同底数幂相除，底数不变，指数相减。这里要求被除数的指数m要大于除数的指数n。
分式的乘方，分子、分母分别乘方。
同时，我们还学过0指数幂，所有不为0的数，其0次幂等于1。
同学们，我们已经学了指数为正整数和0的情况，请你思考一下，$a^m$中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂$a^m$表示什么？我们一起来探究一下负整数指数幂的意义。
计算$a^3÷a^5$，第一个方法，通过分式的约分可以得到$\frac{1}{a^2}$。第二个方法，尝试采用同底数幂除法的运算法则，但之前要求被除数的指数m要大于除数的指数n。假设将限定条件去掉，$a^3÷a^5$就会等于$a^{3 - 5}$，结果是$a^{-2}$。
那如何使刚刚的假设成立呢？根据第一种方法和第二种方法，如果我们规定$a^{-2}=\frac{1}{a^2}$，假设就会成立。为了使得同底数幂除法的法则适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式，数学中规定$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$，其中$a≠0$，即当n是正整数时，$a^{-n}$是$a^n$的倒数。
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩大到全体整数，可以是正整数、0，也可以是负整数。
同学们，接下来我们一起来完成3道填空题，加深对负整数指数幂的理解。同学们可以按下视频的暂停键，认真思考作答之后再继续观看。
第一题，$3^2 = 9$，$3^0 = 1$。根据负整数指数幂的意义，$3^{-2}$等于$3^2$的倒数，结果为$\frac{1}{9}$。
第二题，$(-3)^2 = 9$，$(-3)^0 = 1$。根据负整数指数幂的意义，$(-3)^{-2}$等于$(-3)^2$的倒数，结果为$\frac{1}{9}$。
第三题，$b^0 = 1$。根据负整数指数幂的意义，$b^{-2}$等于$b^2$的倒数。
相信通过这几道练习，同学们已经了解负整数指数幂的意义了。那么引入负整数指数幂和0指数幂后，同底数幂乘法法则能否推广到m、n是任意整数的情形呢？我们一起来看三个例子，探究一下整数指数幂的性质。
第一题，$a^3×a^{-5}$。根据负整数指数幂的意义，等于$\frac{a^3}{a^5}$，约分之后得到$\frac{1}{a^2}$，由负整数指数幂的意义可化为$a^{-2}$，而$-2$可以由$3 + (-5)$得到。所以$a^3×a^{-5}=a^{3 + (-5)}$。
第二题，$a^{-3}×a^{-5}$。根据负整数指数幂的意义，等于$\frac{1}{a^3}×\frac{1}{a^5}$，结果为$\frac{1}{a^8}$，也就是$a^{-8}$，而$-8$可以由$-3 + (-5)$得到，即$a^{-3}×a^{-5}=a^{-3 + (-5)}$。
第三题，$a^0×a^{-5}$。根据0指数幂和负整数指数幂的意义，等于$1×\frac{1}{a^5}$，结果为$a^{-5}$，而$-5$可以由$0 + (-5)$得到，即$a^0×a^{-5}=a^{0 + (-5)}$。
由此我们可以归纳出，同底数幂乘法法则对于m、n是任意整数的情形仍然适用。
类似的，同学们，你可以用负整数指数幂或零指数幂对其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数范围内是否还适用。这个环节留给同学们课后进行探究。
随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，正整数指数幂的运算性质也推广到整数指数幂。特别注意，根据整数指数幂的运算性质，当m、n为整数时，$a^m÷a^n = a^{m - n}$，而$a^m×a^{-n}=a^{m + (-n)} = a^{m - n}$，因此$a^m÷a^n = a^m×a^{-n}$，即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法，第一条性质与第四条性质进行统一。
特别地，$\frac{a}{b}=a÷b = a×b^{-1}$，所以$(\frac{a}{b})^n=(a×b^{-1})^n$，将第五条分式的乘方法则与第三条积的乘方法则进行统一。最终我们把整数指数幂的运算性质归结为三条：同底数幂乘法则、幂的乘方法则、积的乘方法则。
为了更好地掌握整数指数幂的运算性质，我们来看例一。同学们可以按下视频的暂停键，认真思考作答，之后再继续观看。
第一题，$a^{-2}÷a^5 = a^{-2 - 5}=a^{-7}$。同学们要特别注意，计算结果通常要转化成分式，所以第一题答案为$\frac{1}{a^7}$。
第二题，分式乘方等于分子分母分别乘方，得到$\frac{b^{-6}}{a^{-4}}$，$a^4$与$a^{-4}$互为倒数，所以等于$a^4×b^{-6}$。计算结果要化成分式，所以第二题答案为$\frac{a^4}{b^6}$。