师：同学们大家好，今天我们一起学习八年级人教版数学第十四章运用完全平方公式因式分解。本节课的学习目标有两个：一是了解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方公式进行因式分解；二是综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进行因式分解。本节课学习重点是运用完全平方公式因式分解。
通过前面几节课的学习，我们已经知道什么是因式分解，就是把一个多项式化成几个整式的积的形式。那我们学过的因式分解的方法有哪些呢？
生：提公因式法和平方差公式法。
师：非常好。那大家能用学过的方法分解(16x^{2} + 24x + 9)吗？
生：显然不能。
师：希望通过本节课的学习，大家能解决这个问题。现在跟老师一起在横线上填上适当的式子，使等式成立。第一题，答案是(a^{2} + 2ab + b^{2})。第2题，(a^{2} - 2ab + b^{2})。第3题，我们将等号右边的乘积式展开后，得到(a^{2} + 2a + 1)。第4题将等号右边的式子展开之后，答案也是(a^{2} - 2a + 1)。请大家再观察上面的等式，回答下列的问题。一二两式从左到右是什么变形？
生：整式乘法。
师：三四两式从左到右是什么变形？
生：因式分解。
师：我们知道整式乘法和因式分解是互逆变形。请大家再观察上面的等式，它是我们学过的哪个公式呢？
生：完全平方公式，((a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2})，((a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2})。
师：对，这就是我们整式乘法中的完全平方公式。我们把整式乘法中的完全平方公式等号两边交换位置，就可以得到我们本节课要学习的因式分解中的完全平方公式：(a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2})，(a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2})。我们用文字语言描述为：两个数的平方和加上或减去这两个数的积的两倍，等于这两个数的和或差的平方。我们把(a^{2} + 2ab + b^{2})和(a^{2} - 2ab + b^{2})这样的式子叫做完全平方式。那具备什么样特征的式子叫完全平方式呢？我们一起来观察这两个式子，回答下列问题。第一，每个多项式有几项？
生：三项。
师：第二，每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
生：这两项都是数或式的平方，并且符号相同。
师：第三，中间项和第一项、第三项有什么关系？
生：是第一项和第三项底数的积的正负二倍。
师：同学们都观察得非常仔细。那怎么去判断一个式子是不是完全平方式呢？一看项数，必须是三项式（或可以看成三项的，平方差公式是两项）；二看平方，有两个同号的数或式的平方；三看乘积，必须是两底数之积的正负二倍。凡具备这些特点的三项式就是完全平方式，将它写成完全平方形式便实现了因式分解。我们也可以说成首平方、尾平方，二倍首尾放中央。公式中的(a^{2})可以看成首平方，(b^{2})可以看成尾平方，正负二倍的乘积项放中央，分解成两数和或两数差的平方，便实现了因式分解。
接下来我们一起来判断下列式子是不是完全平方式。第一题，(4b^{2} + 4b - 1)，先看项数是3项，再看平方项，(1)可以看成(1^{2})，两平方项符号不同，所以它不是完全平方式。第二题，(a^{2} + ab + b^{2})，项数是3项，我们来看平方项符号相同，再看乘积项，乘积项不是(2)倍的(a)乘以(b)的积，所以它不是完全平方式。第3题，(1 + 4a^{2})，项数是两项，所以它不是完全平方式。第4题，(a^{2} - 4a + 4)，项数是3项，(4)我们可以看成(2^{2})，平方两项符号相同，(-4a = -2×a×2)，所以它们是(-2)倍的关系，所以它是完全平方式。
我们已经学会判断一个式子是不是完全平方式，那如何将它进行因式分解？我们一起来看例一。第一小题是不是有似曾相识的感觉？没错，这是老师刚开始上课时给大家思考的一道题目，你现在会进行因式分解了吗？请同学们拿出笔和纸，尝试着完成题目。
师：我们在运用完全平方公式进行因式分解时，首先将它变形为完全平方式的形式。(16x^{2})可以看成((4x)^{2})，(9)可以看成(3^{2})，(2×4x×3)刚好等于(24x)。公式中的(a)表示(4x)，(b)表示(3)。乘积项的符号为正号，所以可以分解成两数和的平方，等于((4x + 3)^{2})。
第2小题，(-x^{2} + 4xy - 4y^{2})，项的符号都为负号，那怎么办呢？
生：当平方项为负号时，先提出负号。
师：非常好，括号里面剩下(x^{2} - 4xy + 4y^{2})，我们可以看成((2y)^{2})。乘积项符号为负号，公式中的(a)表示(x)，(b)表示(2y)，所以我们可以分解成两数差的平方，等于(-(x - 2y)^{2})。通过对例一的学习，我们一起小结一下用完全平方公式因式分解的一般步骤。