师：同学们，大家好。今天我们共同来学习八年级人教版数学第十四章用平方差公式因式分解。我们先来明确本节课的学习目标和学习重点。学习目标一是探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想；二是会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解。学习重点是运用平方差公式分解因式。
我们先来回顾一下，什么叫分解因式？把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做这个多项式的分解因式。那么分解因式和整式乘法有何关系呢？根据前面所学，我们知道分解因式和整式乘法是方向相反的变形。
下面把下列各式分解因式。先看第一小题，$x^2 - 6x$，我们发现两项中都含有公因式$x$，提取公因式$x$，因式分解为$x(x - 6)$。再看第二小题，两项中都含有公因式$m - n$，提去公因式$m - n$，因式分解为$(m - n)(2A - 3)$。同学们，以上两题我们都用到了前面所学的提公因式法因式分解。
接下来我们一起来填空。先看第一小题，$(x + 5)(x - 5) = x^2 - 5^2$，化简得$x^2 - 25$。第二小题，$(3x + y)(3x - y) = (3x)^2 - y^2$，化简得$9x^2 - y^2$。第三小题，$(m + 2n)(m - 2n) = m^2 - (2n)^2$，化简得$m^2 - 4n^2$。同学们，以上 3 题运用了什么公式呢？对，是平方差公式，$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$。
那么请同学们看第三题，尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积形式。我们看到这三道题与第一题的三道题是方向相反的变形。第一题，$x^2 - 25$，可以写成$x^2 - 5^2$，因式分解为$(x + 5)(x - 5)$。同样的，第二小题，$9x^2 - y^2$，可以写成$(3x)^2 - y^2$，因式分解为$(3x + y)(3x - y)$。第三小题，$m^2 - 4n^2$，可以写成$m^2 - (2n)^2$，因式分解为$(m + 2n)(m - 2n)$。由此我们得到$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，从左向右是因式分解。像这种用整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法称为运用公式法分解因式。
接下来我们对平方差公式和平方差公式因式分解进行一个比较。平方差公式$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$，从左向右是整式乘法，也就是两个数的和与两个数的差的乘积等于这两个数的平方差。而$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$从左向右是因式分解，也就是两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积。
在比较过后，我们进一步来明确平方差公式因式分解的结构特征。等式左边是一个可以被分解因式的二项式，被分解的二项式每一项为平方项，并且两个平方项的符号相反，可以写成平方差的形式。等式右边是分解因式的结果，分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的积。
接下来我们进行辨析，下列多项式能转换为平方差的形式吗？为什么？第一题，两个平方项同号，不能转化为平方差形式。第二小题，两个平方项异号，可以转化为平方差形式，因式分解为$(x + y)(x - y)$。第三小题，两个平方项异号，利用加法交换律交换得$y^2 - x^2$，因式分解为$(y + x)(y - x)$。第四小题，两个平方项同号，不能转化为平方差形式。
接下来我们将利用平方差公式因式分解。看例一，把下列各式分解因式。第一小题，$4x^2$可以写成$(2x)^2$，$9$可以写成$3^2$，两个平方项异号，可以写成$(2x)^2 - 3^2$，因式分解为$(2x + 3)(2x - 3)$。再看第二小题，把$(x + p)$看作公式中的$a$，$(x + q)$看作公式中的$b$，这道题体现了数学的重要思想——整体思想，我们可以直接使用平方差公式因式分解为$[(x + p) + (x + q)][(x + p) - (x + q)]$。去括号时要注意符号，$x + q$前面是负号，去括号得$(x + p + x + q)(x + p - x - q)$，整理得$(2x + p + q)(p - q)$。
接下来看例二，把下列各式分解因式。第一小题，$x^4$可以看成$(x^2)^2$，$y^4$可以看成$(y^2)^2$，两个平方项异号，符合平方差形式，因此可以写成$(x^2)^2 - (y^2)^2$，因式分解为$(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)$。同学们，因式分解完毕了吗？我们发现$x^2 - y^2$又符合平方差公式因式分解，所以此题可以继续因式分解为$(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$。再看第二小题，$a^3b - ab$有公因式$ab$，我们可以提取公因式$ab$得$ab(a^2 - 1)$。同样的问题，因式分解完毕了吗？我们发现$a^2 - 1$可以写成$a^2 - 1^2$，又符合平方差公式因式分解，所以此题可以继续因式分解为$ab(a + 1)(a - 1)$。