师：同学们，大家好。今天我们来学习人教版初中数学八年级上册第15章第一节第三课时最简分式。本节课的学习目标有：一是类比分数的约分，理解分式的约分，了解最简分式的概念；二是掌握分式约分的方法和步骤；三是通过类比分数的约分，探索分式的约分，学会用类比转化的思想方法研究数学问题，感受数学的简洁美。
首先，我们一起来回顾分式的基本性质：分式的分子和分母乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示为：$\frac{a}{b}=\frac{a×c}{b×c}$，$\frac{a}{b}=\frac{a÷c}{b÷c}$（这里$a$、$b$、$c$为整式，且$c≠0$）。
在应用分式的基本性质时，要注意以下几点：第一，分子和分母应同时做乘法或除法中的同一种变换；第二，所乘或除以的必须是同一个整式；第三，所乘或除以的这个整式一定不能等于0。
复习完上节课内容，带着本节课学习目标，我们来探索新知识。请同学们对下面两个分数进行约分，并说说分数的约分是怎样进行的。
利用分数的基本性质，约去$\frac{4}{8}$分子和分母的公约数4，不会改变分数的值，把$\frac{4}{8}$化为$\frac{1}{2}$。同样，利用分数的基本性质，约去$\frac{9}{21}$分子和分母的公约数3，也不会改变分数的值，进而把$\frac{9}{21}$化为$\frac{3}{7}$。
像这样，根据分数的基本性质，把一个分数的分子和分母的公约数约去，叫做分数的约分。
请同学们按照分数的约分方法化简下面的分式。（同学们可按下视频暂停键，认真思考后再继续观看）
与分数的约分类似，我们可以利用分式的基本性质，约去$\frac{2bc}{ac}$分子和分母的公因数$c$，不会改变分式的值，把$\frac{2bc}{ac}$化为$\frac{2b}{a}$。同样，利用分式的基本性质，约去$\frac{3a2b}{6ab2}$分子和分母的公因式$3ab$，也不会改变分式的值，进而把$\frac{3a2b}{6ab2}$化为$\frac{a}{2b}$。
现在，同学们可以类比分数的约分，说说什么是分式的约分了吗？
生：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
师：知道了什么是分式的约分，接下来请同学们思考下面这个问题。（同学们可按下视频暂停键，认真思考后再继续观看）
在化简分式$\frac{5xy}{20x2y}$时，小红和小明的做法发生了分歧。小红将该分式化简为$\frac{5x}{20x2}$，而小明化简为$\frac{1}{4x}$。请同学们说说对他们俩的解有何看法？
生：小红的做法没有化简完整，分式$\frac{5x}{20x2}$的分子和分母还有公因式$5x$，可以利用分式的基本性质约去分子和分母的公因式$5x$，不会改变分式的值，最终化简成$\frac{1}{4x}$，所以小明的做法才是正确的。
师：所以在分式的约分中，一般要约去分子和分母所有的公因式。像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
探究了理论知识，我们一起进入实践操作。请同学们将下列分式进行约分。（同学们可按下视频暂停键，认真思考后再继续观看）
第一小题，观察该分式，我们发现该分式的分子和分母有公因式$5ab$，因此我们可以利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式$5ab$，不会改变分式的值，把原分式化为$-\frac{5ac3}{3b}$，此时分式的分子与分母已经没有公因式了，是最简分式。
通过上面的题目，同学们可以尝试说出分式约分的方法和步骤吗？
生：第一步，找出分子和分母的公因式；第二步，利用分式的基本性质，约去分子和分母所有的公因式；第三步，化成最简分式。约分时要约去分子和分母的公因式，所以找出公因式是约分的关键。
师：第二小题中分式的分子和分母是多项式，应该如何约分呢？同样，为约分我们要找出分子和分母的公因式。因为分子和分母是多项式，所以需要将多项式进行因式分解。分子$x2 - 9$可以利用平方差公式法分解成$(x + 3)(x - 3)$，分母$x2 + 6x + 9$可以利用完全平方公式法分解成$(x + 3)2$，这样我们就可以找到分子和分母的公因式$x + 3$。接着利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式$x + 3$，不会改变分式的值，从而把原分式化为最简分式$\frac{x - 3}{x + 3}$。在这里我们用到了整体思想，将$x + 3$看作一个整体。
接下来我们来看第3小题。同第2小题方法一样，分式的分子和分母是多项式，需要先因式分解化为$\frac{6(x - y)2}{3(x - y)}$，进而找到分子和分母的公因式$3(x - y)$，再利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式$3(x - y)$，不会改变分式的值，从而把原分式化为整式$2(x - y)$，即$2x - 2y$。在这里我们同样用到了整体思想。